Boundary-Value Problem

Definition / 定义

边值问题：在微分方程（常微分方程或偏微分方程）中，除了要求满足方程本身，还要求解在边界（例如区间端点、区域边界、初末时刻等）满足给定条件的一类问题。常见于物理中的稳态热传导、静电场、弹性力学等。（另有相关概念“初值问题”属于另一类常见设定。）

Pronunciation / 发音

/ˈbaʊndəri ˈvæljuː ˈprɑːbləm/

Examples / 例句

A classic boundary-value problem is finding the temperature in a rod when both ends are held at fixed temperatures.
一个典型的边值问题是：当一根杆的两端保持固定温度时，求杆内的温度分布。

In solving Laplace’s equation on a bounded domain, the choice of boundary conditions can determine whether the boundary-value problem has a unique solution.
在有界区域上求解拉普拉斯方程时，边界条件的选择可能决定该边值问题是否存在唯一解。

Etymology / 词源

该术语由三部分构成：boundary（边界）+ value（取值/数值）+ problem（问题）。其核心思想是“在边界上规定函数取值”，因此称为“边值问题”。在数学物理的发展中，这类问题随着对热、波、电磁等现象的建模而广泛定型，并成为微分方程理论的重要分支。

Related Words / 相关词

• Boundary Condition
• Initial-Value Problem
• Differential Equation
• Partial Differential Equation
• Laplace Equation
• Dirichlet Condition
• Neumann Condition
• Green's Function

Literary Works / 文学作品

• Methods of Mathematical Physics（Courant & Hilbert）——系统讨论数学物理中的典型边值问题与方法。
• Partial Differential Equations（Lawrence C. Evans）——在PDE框架下反复使用并分析边值问题的存在与唯一性。
• Green’s Functions and Boundary Value Problems（Stakgold & Holst）——以边值问题为中心主题，结合格林函数方法展开。
• Mathematical Methods for Physicists（Arfken, Weber & Harris）——在物理应用章节中频繁出现边值问题设定与求解思路。