Bounded Set

定义 Definition

“bounded set”（有界集）：在数学中，指在某个度量或范数意义下不会无限延伸的集合。直观地说，集合里的点都能被某个“有限大小的球/区间/盒子”装下。
（在不同背景如度量空间、欧几里得空间、赋范空间中，形式化定义会略有差异。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈbaʊndɪd sɛt/

例句 Examples

The set {x : 0 ≤ x ≤ 1} is a bounded set.
集合 {x：0≤x≤1} 是一个有界集。

In a metric space, every bounded set is contained in some open ball of finite radius, which is crucial when discussing compactness and convergence.
在度量空间中，每个有界集都包含在某个有限半径的开球里，这一点在讨论紧性与收敛时很关键。

词源 Etymology

bounded 源自动词 bound（限制、界定），与“边界/界限”的概念相关；加上 set（集合）后，形成数学术语，强调集合的“大小”在某种测量标准下被一个有限界所控制。该用法在分析学、拓扑学与泛函分析中非常常见。

相关词 Related Words

• Bounded
• Unbounded
• Boundedness
• Limit
• Converge
• Compact
• Metric Space
• Open Ball

文学/著作中的用例 Literary Works

• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）：在实分析与度量空间语境中频繁讨论“bounded set”。
• Topology（James R. Munkres）：在度量空间与紧性相关章节中出现该术语。
• Introductory Functional Analysis with Applications（Erwin Kreyszig）：在赋范空间、算子与有界性讨论中常用。
• A Course in Functional Analysis（John B. Conway）：用于分析赋范空间中的集合与算子的有界性质。