Chebyshev Function

Definition / 释义

切比雪夫函数：数论中的两个重要函数，用来刻画素数分布，常见有

• 第一切比雪夫函数：(\theta(x)=\sum_{p\le x}\log p)（对不超过 (x) 的素数取对数并求和）
• 第二切比雪夫函数：(\psi(x)=\sum_{p^k\le x}\log p)（对不超过 (x) 的素数幂 (p^k) 取对数并求和）
  它们与素数定理、(\pi(x))（素数计数函数）等密切相关。日常语境中提到 “Chebyshev function” 往往指这两者之一（需结合上下文看是 (\theta) 还是 (\psi)）。

Pronunciation / 发音

/ˈtʃɛbɪʃɛv ˈfʌŋkʃən/ （亦常见 /ˈtʃeɪbɪʃɛv ˈfʌŋkʃən/）

Examples / 例句

The Chebyshev function helps describe how primes are distributed.
切比雪夫函数有助于描述素数是如何分布的。

In analytic number theory, bounds on the Chebyshev function are used to relate (\psi(x)) to the prime counting function (\pi(x)) and to prove versions of the prime number theorem.
在解析数论中，人们利用对切比雪夫函数的界来把 (\psi(x)) 与素数计数函数 (\pi(x)) 联系起来，并证明素数定理的各种形式。

Etymology / 词源

“Chebyshev” 来自俄国数学家 Pafnuty Chebyshev（切比雪夫） 的姓氏；“function” 表示“函数”。该术语用于纪念他在数论与逼近理论等领域的贡献，其中切比雪夫在素数分布研究方面提出过重要估计与思想，后来相关求和函数以其名命名。

Related Words / 相关词

• Prime Counting Function
• Prime Number Theorem
• Von Mangoldt Function
• Riemann Zeta Function
• Analytic Number Theory
• Logarithm

Notable Works / 文学与著作

• G. H. Hardy & E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers（讨论素数分布与切比雪夫函数相关内容）
• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory（以 (\theta(x))、(\psi(x)) 为工具讲解素数定理等主题）
• Harold Davenport, Multiplicative Number Theory（解析数论经典著作，涉及切比雪夫函数及其估计）
• Gérald Tenenbaum, Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory（系统出现 (\theta)、(\psi) 等函数并用于证明关键结果）
• P. L. Chebyshev, 相关关于素数分布的论文与回忆录（其思想促成后续以其名命名的函数与估计）