Lipschitz

定义 Definition

Lipschitz（利普希茨）：在数学中形容一种“变化不太快”的性质。若函数满足：输入变化多少，输出的变化最多按某个固定比例放大（存在常数 (L) 使得 (|f(x)-f(y)| \le L|x-y|)），就称它满足 Lipschitz 条件，或称为Lipschitz 连续。常用于分析学、微分方程、优化与机器学习中。
（除“Lipschitz 连续”外，它也常出现在如“Lipschitz 常数”“Lipschitz 映射”等搭配中。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈlɪpʃɪts/

例句 Examples

A Lipschitz function cannot oscillate too wildly.
Lipschitz 连续的函数不会振荡得过于剧烈。

Under a global Lipschitz condition, the differential equation has a unique solution.
在全局 Lipschitz 条件下，该微分方程存在唯一解。

词源 Etymology

Lipschitz 来自德国数学家 Rudolf Lipschitz（鲁道夫·利普希茨，1832–1903） 的姓氏。相关概念用于刻画函数的“受控变化”，后来在现代数学中被广泛采用，并固定为术语（如 Lipschitz continuity）。

相关词 Related Words

• Continuous
• Continuity
• Differentiable
• Holder
• Uniform
• Contraction
• Metric
• Norm
• Bounded
• Smooth

文学与名著用例 Literary Works

• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin，《数学分析原理》）——讨论连续性、度量空间与相关条件时常出现 Lipschitz（如 Lipschitz 连续）。
• Convex Analysis（R. Tyrrell Rockafellar，《凸分析》）——在凸函数、次梯度与优化条件中涉及 Lipschitz 性质与 Lipschitz 常数。
• Nonlinear Functional Analysis and its Applications（Eberhard Zeidler，《非线性泛函分析及其应用》）——在不动点、非线性算子与存在唯一性问题中频繁使用 Lipschitz 条件。
• Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra（Morris W. Hirsch & Stephen Smale & Robert L. Devaney，《微分方程、动力系统与线性代数》）——讲解常微分方程解的存在唯一性时使用 Lipschitz 条件。