[诺贝尔粉丝勿入] Dig 一下 Sharpe 比率和 Sortino 比率

[raquant]

Sharpe ratio 和 Sortino ratio ，它们都用来衡量每获得一份收益面临着多大风险。下面是两者的计算公式：

Sharpe ratio:    (Rp - Rf )/ σ
Sortino ratio:   (Rp - Rf) / σd

可以看到，这两者的区别是：分母不同。 接下来会挨个解释一下公式中出现的 4 种变量，但在这之前，需要做一些假设，我需要数据来说明。 假设要统计过去半年内以月为周期的 Sharpe 和 Sortino ，以下是过去 6 个月的每月相对收益状况：

    double pf = {0.02, 0.08, -0.01, 0.01, -0.02, 0.04};

1. 参数定义

Rp: 期望的收益值。就是字面上的意思。但是初次接触这个公式的人就会问，这个数该怎么填？我期望每月收益率 100%！抱歉，这里期望是指数学上的期望（百度一下，你将会温习到中学时代的数理统计方面的内容），这个数暂时我来定，因为指定了上面的 pf ，期望值就已经确定了。对，期望的意思是，按这种势头搞下去，你一年（或其它自定义的周期）能赚多少。

• Rf: 抱歉上面的期望不是你的“期望”，但这个 Rf （无风险收益率）你可以自行决定。比如像我这种没什么门道的普通人，就 6%吧，存个长期的理财。如果你有别的门道，比如把钱放到你二大爷那，他每年都能搞出 20%的收益，那么这个值对你来说就是 20%。

• σ：这个东西就是标准差，用来衡量数列的离散程度。比如你今天翻倍，明天又跌去八成，后天又翻倍，这就说明离散程度较大了，虽然你最后还是赚了，但中间的过程比较惊悚，也就是说，你承受的风险比较大。

• σd ：这个东西是下偏差。有学机械的提出疑问，这是搞装配么，怎么还有下偏差，确定这是统计学里面的？额，我学数理统计的时候确实没有这个东西。它的意思是，只统计基准以下的数据；基准以上的数据统统当作 0 处理。 Sortino ration 的发明者给出的理由是：我亏的才算风险，赚的再多我不怕，怎么能说是有风险呢！所以它的含意是，未超过基准收益部分的数据的离散程度。

2. 年化收益率的计算方法

Rp ， Rf 我们可以简单理解为收益率。但要注意到，收益率是有周期单位的，年化收益和日收益、月收益不在一个维度上，没有可比性。不同周期的收益率不能代入上述公式直接计算，这就存在着收益率换算的问题。在知乎上看到有些量化平台给出的 N 日收益换算到年化收益的方法是（还是个高票回答）：

• (参考标准最终指数 / 参考标准初始指数 - 1) / 回测交易日数量 × 250

不得不指出，这样的计算方法是不合适的。因为每天的收益会改变帐户的资产状况，不能简单的用算术平均来计算。不同周期收益率之间的换算要考虑到资产的变化，即复利，所以一些乘方和开方的运算是不可避免的。

下面给出了以七日收益来计算年化收益预期的实现代码，原始数据取自己余额宝：

    public static void annualProfitTest() {
        // 最近 7 天的万份收益，即存 1 万，收 1 块零几分钱
        double[] pDailyIncome = {1.0213,1.0198,1.0197,1.0337,1.0354,1.0389,1.0399};
        // 最近 7 天的总收入
        double totalIncome = StatUtils.sum(pDailyIncome);
        // 根据 7 日的收益计算日化收益率, 开 7 次方
        double dailyProfitRatio = StrictMath.pow(1+totalIncome/10000.0, 1/7.0)-1;
        // 根据日化收益率计算年化收益率， 365 次方
        double annualProfitRatio = StrictMath.pow(1+dailyProfitRatio, 365)-1;
        System.out.println("Daily: "+dailyProfitRatio+"\nAnnual: "+annualProfitRatio);
    }

类似的，由月收益得到日收益或年收益的时候，可以相应的修改上面的代码。

3. Sharp ratio 的计算方法

接下来是代码 show time ，先算一下 Sharp:

    // 根据单位周期相对收益率，计算总周期的收益率
    	public static double calcTotalProfitRatio(double[] profits) {
    	    double totalProfitRatio = 1;
    	    for(int i=0; i<profits.length; i++) {
    	        totalProfitRatio = totalProfitRatio*(1+profits[i]);
            }
            return totalProfitRatio-1;
        }

        public static void main(String[] args) {
            double[] pf = {0.022, 0.012, -0.016, 0.019, -0.026, 0.023};
            // 6 个月的总收益率
            double Rp = calcTotalProfitRatio(pf);
            // 无风险收益率年化值 6%，存 6 个月能收益多少
            double Rf = StrictMath.pow(StrictMath.pow(1.06, 1/12.0),6)-1;
            // 计算 pf 的标准差
            SummaryStatistics pointStats = new SummaryStatistics();
            for(double val:pf) pointStats.addValue(val);
            double theta = pointStats.getStandardDeviation();

            // 代入 Sharp ratio 计算公式
            double sharp = (Rp-Rf)/theta;

            System.out.println("Rp:"+Rp+"\nRf:"+Rf+"\ntheta:"+theta+"\nsharp:"+sharp);
        }

4. Sortino ratio 的计算方法

计算 Sortino ratio 与计算 Sharpe ratio 的唯一区别是，要用下偏差替代标准差。所谓下偏差，就是忽略掉上偏差的影响。我们可以这样处理，当某一个月的收益超过参考收益时，将其差值置为 0 ：

但是，我们会发现，刚才我们使用的 SummaryStatistics 类，并没有计算下偏差的方法，那么，我们可以写一个：

        public static double downDeviation(double[] src, double ref) {
    	    double sum=0d;
    	    for(double val:src) sum += (val>=ref) ? 0d : (val-ref);
    	    return StrictMath.sqrt(sum/(src.length-1.0));
        }

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