Dual Price

定义 Definition

dual price（对偶价格）：在优化与运筹学（尤其是线性规划）中，指与某个约束条件对应的“隐含价值/边际价值”，也常称为影子价格。它表示：在其他条件不变时，将某项资源约束放宽 1 个单位，目标函数（如利润最大化或成本最小化）的最优值会改变多少。

（该词组在不同教材中也可能与 shadow price、Lagrange multiplier 等概念紧密相关；在一般商务语境里不如这些说法常见。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈduː.əl praɪs/

例句 Examples

The dual price of the labor constraint is 15 dollars per hour.
劳动力约束的对偶价格是每小时15美元。

In the optimal solution, a positive dual price indicates that the resource is scarce, so relaxing the constraint slightly would increase the objective value.
在最优解中，正的对偶价格表示该资源稀缺，因此将约束稍微放宽会提高目标函数的最优值。

词源 Etymology

dual 源自拉丁语 dualis（“两个的/双重的”），在数学与优化中常指“原问题（primal）”对应的“对偶问题（dual）”。price 来自古法语 pris/price（“价值、价格”）。合起来 dual price 字面是“对偶中的价格”，强调它并非市场上直接观察到的价格，而是由对偶/约束所“推导出的”边际价值。

相关词 Related Words

• Shadow Price
• Lagrange Multiplier
• Dual Variable
• Constraint
• Primal Problem
• Duality
• Opportunity Cost
• Marginal Value

文学与著作 Notable Works

• Linear Programming and Network Flows（Bazaraa, Jarvis & Sherali）——在对偶理论与灵敏度分析中讨论对偶价格/影子价格。
• Introduction to Operations Research（Hillier & Lieberman）——以资源约束的边际价值解释对偶价格。
• Nonlinear Programming（Dimitri P. Bertsekas）——通过拉格朗日乘子与对偶性框架关联“对偶价格”的含义。