Elliptic PDE

定义 Definition

椭圆型偏微分方程（elliptic PDE）：一类偏微分方程，通常用来描述稳态（不随时间变化）的现象，如静电势、稳态热传导、不可压流体的势流等。典型代表是拉普拉斯方程与泊松方程。在直观上，它们的解往往表现为“平滑、受边界条件强烈控制”。

发音 Pronunciation (IPA)

/ɪˈlɪptɪk ˌpiː diː ˈiː/

例句 Examples

We solved an elliptic PDE to find the temperature in a metal plate.
我们通过求解一个椭圆型偏微分方程来得到金属板中的温度分布。

Under suitable boundary conditions, an elliptic PDE often has a unique, smooth solution that can be approximated numerically by finite elements.
在合适的边界条件下，椭圆型偏微分方程往往存在唯一且光滑的解，并且可以用有限元等数值方法近似计算。

词源 Etymology

elliptic 源自希腊语 elleiptikos，有“省略的、缺少的”之意，后来在数学中用于指代“椭圆”的性质；在偏微分方程分类里，“elliptic（椭圆型）”是与 parabolic（抛物型）、hyperbolic（双曲型） 并列的术语，用来描述方程的结构特征与解的行为。PDE 是 partial differential equation（偏微分方程）的缩写。

相关词 Related Words

• Boundary Condition
• Laplace Equation
• Poisson Equation
• Finite Element Method
• Dirichlet Problem
• Neumann Condition
• Harmonic Function
• Regularity

文学与著作中的出现 Literary Works

• Partial Differential Equations — Lawrence C. Evans（经典教材，系统讨论椭圆型方程的弱解、正则性与变分方法）
• Elliptic Partial Differential Equations of Second Order — David Gilbarg & Neil S. Trudinger（椭圆型二阶方程的权威专著）
• Methods of Mathematical Physics, Vol. II — Courant & Hilbert（包含椭圆型方程与边值问题的经典理论框架）
• Partial Differential Equations — Fritz John（涵盖椭圆型方程的基本性质与方法）