Graph Laplacian

定义 Definition

图拉普拉斯算子（Graph Laplacian）是图论与谱图理论中的一种矩阵（或算子），用来刻画图的连接结构与“平滑性”。最常见的形式是

• 非归一化拉普拉斯矩阵：(L = D - A)（(A) 为邻接矩阵，(D) 为度矩阵）
  它在聚类/分割（谱聚类）、扩散与随机游走、图信号处理、半监督学习等任务中非常重要。另有归一化拉普拉斯等变体。

发音 Pronunciation (IPA)

/ɡræf ləˈpleɪʃən/

例句 Examples

The graph Laplacian helps detect communities in a network.
图拉普拉斯矩阵有助于在网络中发现社群结构。

By analyzing the eigenvalues and eigenvectors of the graph Laplacian, we can perform spectral clustering and study diffusion on graphs.
通过分析图拉普拉斯矩阵的特征值与特征向量，我们可以进行谱聚类，并研究图上的扩散过程。

词源 Etymology

graph 源自希腊语 graphein（“书写、描绘”），在数学里引申为“用点与边表示的结构”。Laplacian 来自法国数学家 拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace） 的名字，最初指连续空间中的拉普拉斯算子；“graph Laplacian”则是把类似“差分/扩散”的思想迁移到离散的图结构上，因此得名。

相关词 Related Words

• Adjacency
• Degree
• Matrix
• Eigenvalue
• Eigenvector
• Spectrum
• Spectral
• Clustering
• Diffusion
• Random Walk
• Normalized
• Laplacian

文学作品与著作中的用例 Literary Works

• Fan R. K. Chung，《Spectral Graph Theory》：系统讨论图拉普拉斯及其谱性质。
• Ulrike von Luxburg, “A Tutorial on Spectral Clustering”：以图拉普拉斯为核心工具讲解谱聚类。
• Daniel A. Spielman, “Spectral Graph Theory”（综述/讲义类作品）：频繁使用图拉普拉斯来分析图算法与性质。
• David I. Shuman et al., “The Emerging Field of Signal Processing on Graphs”：将图拉普拉斯作为图信号处理中的基本算子。