Surface Integral

定义 Definition

曲面积分：把一个标量场或向量场在某个曲面上“累加”的积分，用来计算例如曲面上的总质量、热通量、流体穿过曲面的流量等。常见分为第一类曲面积分（对面积元素积分，常见于标量场）与第二类曲面积分/通量积分（对法向量相关量积分，常见于向量场）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈsɝːfɪs ˈɪntɪɡrəl/

例句 Examples

We computed the surface integral over the sphere.
我们计算了球面上的曲面积分。

Using Stokes’ theorem, the surface integral of the curl can be converted into a line integral around the boundary.
利用斯托克斯定理，旋度的曲面积分可以转化为边界上的线积分。

词源 Etymology

surface 源自古法语 surface，再追溯到拉丁语 *super-*（“在上面”）+ facies（“面、外观”），表示“表面/外表之面”。
integral 来自拉丁语 integer（“完整的”），引申出“整体、总和”的含义，后来在数学中专指“积分/整体累加”。合在一起，surface integral 就是“在曲面上做整体累加的积分”。

相关词 Related Words

• Flux
• Divergence
• Curl
• Gradient
• Line Integral
• Stokes' Theorem
• Divergence Theorem
• Surface

文学与经典引用 Literary Works

• Calculus on Manifolds（Michael Spivak）：用曲面积分配合斯托克斯定理与外微分形式，系统化处理多变量积分。
• Div, Grad, Curl, and All That（H. M. Schey）：以物理直觉讲解曲面积分、通量以及相关定理。
• Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms: A Unified Approach（John H. Hubbard & Barbara Burke Hubbard）：在向量微积分与微分形式框架下大量使用曲面积分概念。
• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin，相关章节与多元分析背景）：在多元积分与分析框架中涉及曲面积分所依赖的理论基础。