huzhikuizainali

@lance6716 回复三楼
函数在单点有界的条件其实比较弱，只需要在这一点极限存在：（数学分析新讲第一册 p96 ）
https://s21.ax1x.com/2025/01/08/pECFsYQ.png

因此如果在某点连续，那必然极限存在。因此也连续（数学分析新讲第一册 P106 ）
https://s21.ax1x.com/2025/01/08/pECk3n0.png

在以上定理引理基础上，书中证明区间连续的函数必有界，使用了闭区间套逐渐缩小的方式和反证法思路。（下面两图出自数学分析新讲第一册 P114 ）
我的疑问就是受这个证明的启发产生的。我不用闭区间套逐渐缩小。我直接用反证法假设函数 f 在[a,b]上任意一点 x0 处无界，那么直接与 P106 定理一矛盾.因为 x0 的任意性，所以 f 在[a,b]上有界。------------书中之所以没用这么简单的反证法，而采用缩小闭区间到一点的方法。说明我的思路是错的（逻辑严谨性有问题或有其他错误）。我想知道我错在哪里了。
https://s21.ax1x.com/2025/01/08/pECFVJJ.png
https://s21.ax1x.com/2025/01/08/pECkg4e.png

@lance6716
如果函数 f 在 X0 点连续，那么它在该点邻近是有界的 ． 这是一 个局部性质对于在闭区间连续的函数，我们来讨论相应的整体性质——————《数学分析新讲》第一册 第三章，第二节 2.b

而且我说的不是“函数在某个点上有界”。我说的是在某点连续的函数在该点“邻域”有界。

@halfdb 谢谢你的解答。为了验证一下我是否真的理解你的回答。我再叙述一下，请你看看我是否准确的理解了你的回答？

α<γ<β 推出 γ∈J-------------这个结论是无需证明的！因为这是命题给出的条件“介于α和β之间的任何实数γ也一定属于 J”。是证明的起点！

这个证明的思路是利用“命题条件”+“确界定义”。来说明“任意” γ∈(A,B)这个 “有前提条件” 的γ也属于 J ，目的是推出(A,B)⊂J 的结论。

@Alex222222222222
这个例子太棒了。无界量是“存在”函数值大于任给的 M 。而无穷大量要求进入去心邻域后，所有函数值都大于任给的 M 。因此 G 是无界量，但不是无穷大量。
请问你是怎么想到这个例子的？

@Alex222222222222
我明白 x_0 是下标的意思。但是下面这段内容你想说明什么？我没太理解。
f(x) = 1/|x|, if x neq 0, f(0) =0, x_0 = 0

@Alex222222222222 谢谢你的回复。
有点没看懂。
1 、x_0 = 0 ------------这个 x_0 是什么？
2 、g(x) = 1|x|-----------这个确定 g(x) = 1|x|？而不是 g(x) = 1/|x|
3 、外国教材的翻译教材------有什么推荐的么？

@Alex222222222222 同意你的说法。
现在的难点在于除了苏德矿微积分。我没有在其他地方找到“无界量”的定义。包括维基百科。数学英汉词典。因此也不知道这个概念的英文专用名词是什么？

@Alex222222222222
关键这两个概念 “分别” 有相反的概念。无穷大量<-->无穷小量 无界量<-->有界量 而且有个性质：有界量*无穷小量=无穷小量

据此推断，无穷大量与无界量应该是不同的概念吧？因为有界量与无穷小量显然是不同的概念！

@Alex222222222222
那么如果仅以苏德矿微积分的截图来看。无界量和无穷大量有区别么？虽然，一个是“存在”，一个是“总存在”。但是似乎没有区别啊！