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huzhikuizainali
V2EX  ›  数学

关于拉格朗日乘数法的一个问题 ?(无关考试,就是想搞懂)

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  •   huzhikuizainali · 262 天前 · 1287 次点击
    这是一个创建于 262 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。
    我看过至少两个老师讲的拉格朗日乘数法。都大致基于以下思路。讲授一般是通过例题给出,例如:求 xy=3 到原点距离最近的点的坐标。于是该问题转化为
    距离函数 f(x,y)=x^2+y^2 和 约束函数 g(x,y)=xy=3 。求距离函数 f 在满足约束函数 g 的约束条件的前提下求 f 最小值的问题!
    该问题的几何图形表现为 f(x,y) 与 g(x,y)相切于一点,且 f 的最小值出现在 f 与 g 相切的哪一点
    共切点则共切线,共切线则法线平行,于是后面根据法线平行,引出了拉格朗日系数。后面不再赘述。

    我的困惑在于,上面的例子过于理想化(为了教学的形象化,找理想化的例子没问题)。但是这种特殊例子得出的结论是否具有普遍性呢?

    假设我们换一种表述。不是求 g(x,y) 距离原点最近的那一点的坐标。我们直接给一道题 求 f(x,y)的极值,同时 x,y 满足 g(x,y)=C,C 是常数。g 是约束函数。f 可以是任意函数,唯独不是 x^2+y^2 的形式。那么拉格朗日乘数法还适用么?

    例题的逻辑思路是:
    1 、求 g(x,y)上到原点距离最短的点的问题 ,转化为求 f(x,y)在满足 g(x,y)约束的情况下求 f(x,y)极值的问题。
    2 、求 f(x,y)极值的问题,转化为 f(x,y)与 g(x,y)切点的问题。前提是 f(x,y)是一个距离函数!!!!
    3 、切点问题转化为共切线。
    4 、共切线问题转化为法线平行的问题!
    5 、法线平行引出拉格朗日乘数法。

    但是一旦 f(x,y),不再是一个距离函数,那么 f(x,y)极值点还一定是 f(x,y)和 g(x,y)的公共切线的交点么?如果不是,那么后面的 3-5 步是不是都不成立了?那么拉格朗日乘数法是不是有使用限制呢?

    如果我的担忧是多余的。是否有什么几何的讲授方法可以打消这种对普遍性的顾虑呢?
    11 条回复    2021-03-19 10:12:45 +08:00
    gaint97
        1
    gaint97  
       262 天前 via iPhone
    忘了,啥是距离函数?函数不都有极值吗
    huzhikuizainali
        2
    huzhikuizainali  
    OP
       262 天前 via iPad
    @gaint97 可以复习一下就可以想起来了
    RingoTC
        3
    RingoTC  
       262 天前
    ![demo]( https://pic2.zhimg.com/359cdc26e15205e66204bce2b33e4535_r.jpg)
    考虑上述例子,红色线为约束 g(x,y)=c,蓝色为 f(x,y)的等高线。
    那么,在约束上,一定是与等高线相切处取得条件极值。
    如果当前不在切点,那么一定有比当前值更小 /大的值。
    hsfzxjy
        4
    hsfzxjy  
       262 天前 via Android
    你所听到过的拉乘的(几何)解释只是为了让你能比较形象地明白一些特殊情况,但拉乘适用于一般的约束极值问题,优化目标可以是很普遍的函数。
    dji38838c
        5
    dji38838c  
       262 天前
    这么讲吧:
    假如在约束函数上,存在:那么一个极值点(x0, y0),而且它的 f, g 的法线方向不一致。
    那么,我就可以把 f 的梯度向量,
    分解成沿着 g 的,和垂直于 g 的,然后向着沿着 g 的方向走一点点,就可以取得更小值了,
    这就和“(x0, y0)是极值点的假设矛盾了”
    geelaw
        6
    geelaw  
       262 天前
    用隐函数定理理解也很简单,考虑 f(x, y) 在 g(x, y) = 0 约束下的极值。

    假设极值点邻域内 g(x, y) = 0 可以显化为 y = y(x),则在这一点
    h(x) = f(x, y(x))
    具有极值,因此 h'(x) = 0 即
    f_x(x, y(x)) + f_y(x, y(x)) y'(x) = 0.
    注意 n = (1, y'(x)) 是隐函数在该点处切线的法向量,隐函数求导定理表明该向量和 grad g = (g_x(x, y(x)), g_y(x, y(x))) 正交,而 grad f = (f_x(x, y(x)), f_y(x, y(x)))。
    也就是说 n 和 grad g 、grad f 都正交,因此 grad g 和 grad f 线性相关。

    考虑乘子函数 F(x, y, k) = f(x, y) + kg(x, y),可以看出 F 仅当 g(x, y) = 0 且 grad f 、grad g 线性相关时有驻点,因此可以通过研究 F 的驻点研究 f 在 g=0 约束下的极值。
    conge
        7
    conge  
       262 天前
    各位,推荐个数学教材吧。
    我要去回炉一下我的数学。
    JensenQian
        8
    JensenQian  
       262 天前 via Android   ❤️ 1
    conge
        9
    conge  
       262 天前
    @JensenQian 谢谢。
    futou
        10
    futou  
       262 天前
    每天拉格朗日的路过。说大白话,能用拉格朗日的前提是你求解的满足约束的极值首先是存在的,然后是可求解的,也就是要求 f()在极值点处连续可微且与 g()相交。脱离这一大前提,要么无解要么不可解,再怎么思考也是空想。在这一大前提下参考#5 的说法,简单易懂。
    另外建议学习拉格朗日的推广:KKT 条件。能查到 kkt 充分条件是 f() g()是凸函数,且要存在可行解。
    另外,当你实际遇到一些不能用拉格朗日乘子法的时候,直接按步骤套进去,你会发现:1. 不能求导啊; 2. λ=0 啊; 3.λ等于任何值都成立啊 等等等等
    huzhikuizainali
        11
    huzhikuizainali  
    OP
       262 天前 via iPad
    @RingoTC 谢谢你的回复和配图。目前我所看到的拉格朗日乘数例题,都是求到原点距离的极值。你回复中配图的极值显然不是指到原点的距离。那么 f(x,y)表达式应该是怎么样的呢?
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