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huzhikuizainali
V2EX  ›  数学

若尔当标准型构建相似矩阵的广义特征向量怎么求?

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  •   huzhikuizainali · 2022-04-28 08:43:50 +08:00 · 1060 次点击
    这是一个创建于 700 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

    necomancer
        1
    necomancer  
       2022-04-28 13:44:04 +08:00
    1. P 里每一个向量维度都是 N
    2. 我相信构造方法课里有,用一般关系写不下,举个 4x4 的例子:
    f(a,b,c,d) = (0,a,d,0)
    则存在 f^2 = 0 ,f 的 nilpotent index 为 2
    w_1 = Ker f = {(0,b,c,0)}
    w_2 = Ker f^2 = (a,b,c,d)
    令 b_1 为 w_1 的基,则 b_1 = (0,1,0,0) (0,0,1,0)
    令 t_2 为 w_2/w_1 的基,则 t_2 = (1,0,0,0) (0,0,0,1)
    f(t_2) = (0,1,0,0) (0,0,1,0)
    于是
    t_2 ~ (1,0,0,0) (0,0,0,1)
    t_1 ~ f(t_2) = (0, 1, 0, 0) (0, 0, 1, 0)
    则按照 t_1 t_2 的行顺序取列:
    b = {(0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} 为一组基,对应
    p =
    ........|0 1 0 0|
    ........|1 0 0 0|
    ........|0 0 1 0|
    ........|0 0 0 1|
    P^{-1}AP =
    |0 1 0 0|
    |0 0 0 0|
    |0 0 0 1|
    |0 0 0 0|

    A 为 f 对应的矩阵
    |0 0 0 0|
    |1 0 0 0|
    |0 0 0 1|
    |0 0 0 0|
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