Compact Set

Definition 定义

compact set（紧致集/紧集）：拓扑学与分析中的核心概念。直观上表示“不会向无穷远处散开、在覆盖意义上可以用有限信息控制的集合”。形式化地说，在拓扑空间中，一个集合若满足任意开覆盖都有有限子覆盖，则称为紧致集。
（在欧几里得空间里，常用判别：闭且有界 ⇔ 紧致，即海涅–博雷尔定理的结论。）

Pronunciation 发音

/ˈkɑːmpækt sɛt/

Examples 例句

A closed interval ([0,1]) is a compact set.
闭区间 ([0,1]) 是一个紧致集。

In a metric space, a set is compact if every open cover admits a finite subcover, which guarantees that every sequence has a convergent subsequence whose limit lies in the set.
在度量空间中，若一个集合的任意开覆盖都存在有限子覆盖，则该集合是紧致的；这也保证任意序列都有收敛子序列，且其极限仍落在该集合内。

Etymology 词源

compact 源自拉丁语 compactus（意为“压紧的、紧密结合的”），在数学语境中引申为“结构上可由有限信息把握、不会‘散开’”。set 来自基本数学用语“集合”。合起来的 compact set 就是“紧致的集合”。

Related Words 相关词

• Compactness
• Open Cover
• Finite Subcover
• Closed Set
• Bounded Set
• Heine–Borel Theorem
• Metric Space
• Topology
• Sequential Compactness

Notable Works 著名作品举例

• Topology — James R. Munkres（系统讲解紧致性的定义与基本性质）
• Principles of Mathematical Analysis — Walter Rudin（在实分析中频繁使用紧致集与紧性论证）
• Real and Complex Analysis — Walter Rudin（紧致性在测度与积分、泛函分析相关内容中反复出现）
• General Topology — John L. Kelley（拓扑学经典教材，紧致性为核心章节之一）