Laplacian Eigenmaps

Definition / 释义

Laplacian Eigenmaps（拉普拉斯特征映射）是一种非线性降维与谱嵌入（spectral embedding）方法：把数据点看作图（graph）上的节点，根据相似度连边，构造图拉普拉斯算子（Graph Laplacian），再用其特征向量（eigenvectors）把高维数据映射到低维空间，从而尽量保持“相近点在低维中仍相近”的局部结构。常用于流形学习、可视化、聚类预处理等。（在不同文献里也常被视为谱方法的一种代表。）

Pronunciation / 发音

/ləˈplɑːʃən ˈaɪɡənˌmæps/

Examples / 例句

Laplacian Eigenmaps can reduce high-dimensional data to two dimensions for visualization.
Laplacian Eigenmaps 可以把高维数据降到二维用于可视化。

By building a k-nearest-neighbor graph and computing the graph Laplacian, Laplacian Eigenmaps produces a low-dimensional embedding that preserves local neighborhood relationships.
通过构建 k 近邻图并计算图拉普拉斯矩阵，Laplacian Eigenmaps 能生成保留局部邻域关系的低维嵌入表示。

Etymology / 词源

• Laplacian 来自法国数学家 Pierre-Simon Laplace（拉普拉斯） 的名字；“拉普拉斯算子/矩阵”在连续与离散（图）情形中都用于刻画结构与平滑性。
• Eigen 源自德语 eigen，意为“自身的/固有的”；在数学里指特征值、特征向量（固有值/固有向量）。
• maps 表示“映射”，强调把数据从一个空间映到另一个（通常更低维）空间。

Related Words / 相关词

• Spectral Embedding
• Graph Laplacian
• Dimensionality Reduction
• Manifold Learning
• Spectral Clustering
• Diffusion Maps
• Isomap
• Locally Linear Embedding
• Kernel PCA
• t-SNE

Notable Works / 文学与学术作品

• Belkin & Niyogi：Laplacian Eigenmaps for Dimensionality Reduction and Data Representation（提出并系统阐述该方法的经典论文）
• von Luxburg：A Tutorial on Spectral Clustering（谱聚类教程，常在相关背景中讨论与 Laplacian Eigenmaps 相近的谱思想）
• Chapelle, Schölkopf, Zien（编）：Semi-Supervised Learning（半监督学习经典书籍，相关章节常涉及图拉普拉斯与谱方法的思想与应用）